Frazioni algebriche

Si dice frazione algebriche un frazione in cui una o più lettere compaiono solo o anche al denominatore.

Prima di effettuare qualsiasi operazione con le frazioni algebriche è OBBLIGATORIO scrivere le condizioni di esistenza. C.E.

Le condizioni di esistenza sono condizioni che vengono poste al denominatore delle frazioni algebriche per escludere i valori che sostituiti alle lettere del denominatore lo renderebbero uguale a zero, renderebbero la frazione senza significato, la struttura che la contiene impossibile.

1. Per individuare le C.E. occorre scomporre il denominatore.
2. Su ogni fattore del denominatore scrivere le C.E. escludendo i valori che lo annullano.

NOTA BENE

Sui numeri che non compaiono le lettere si compongono le lettere.

Operazioni con i numeri razionali (Q)

Per effettuare  la somma algebrica con i numeri ed in particolare con le frazioni corre che abbiano lo stesso denominatore.

2   →  numeratore

3   → denominatore

La somma algebrica tra frazioni con lo stesso denominatore è uguale ad una frazione che ha per denominatore il denominatore comune e per numeratore la somma algebrica dei numeratori. 
2 _ 8 = 2-8 =_ 6
5    5      5        5
NOTA BENE: Prima di effettuare qualsiasi operazione con le frazioni occorre ridurre la frazione ai minimi termini,cioè semplificare, quando è possibile il numeratore con il denominatore, dividendo entrambi per un fattore comune.


 7   _ 1  = 0 = 0
49     7     7
se i denominatori non sono uguali, si calcola il minimo comune denominatore.
Per calcolare il minimo comune denominatore tra frazioni occorre:

1. Scomporre in fattori primi, cioè non più sconponibile tutti i denominatori presenti.
2. Portare tutte le frazioni al stesso denominatore ottenuto  moltiplicando tra loro tutti i fattori comuni e non comunipresi una sola volta con l'esponente maggiore;
3. Dividere il denominatore comune per denominatore di ciascuna frazione e moltiplicare il risultato per il numeratore; 
4. Scrivere il risultato costituito dalla frazione che ha per denominatore quello comune e per numeratore la somma algebrica dei numeratori;
5. Se possibile semplificare la frazione  ottenuta riducendola ai minimi termini. 

2/4 - 7/6 + 1/15
Per scomporre i numeri in fattori:

1. I numeri pari si dividono per due; 
2. Se la somma delle cifre  è un multiplo di 3 si divide per 3;
3. Se l'ultima cifra é 5 o 0 si divide per 5;
4. Se il numero é composto da due cifre uguali si divide per 11.

Polinomi

Si dice polinomio la somma algebrica di più monomi non simili tra loro.

2a - 3b + 7a2b

2a - 3b - 5b +a -7a2b

= 3a - 8 - 7a2b

Grado assoluto di un polinomio ( Complessivo )

Il grado assoluto di un polinomio è a uguale al grado più alto tra quelli dei monomi presenti.
Il grado relativo ad una lettera è l'esponente maggiore con cui la lettera è presente ne polinomio.

-Grado assoluto nel polinomio 3 grado relativo alla lettera a:2 
-Grado relativo alla lettera b.1.

Un polinomio si dice ordinato relativamente ad una lettera se i monomi che contengono la lettera so no scritti dal più alto al più basso oppure viceversa.

7a³b - 2a²b² + 5ab -5 = COMPLETO

Ordinato rispetto alla lettera a, in ordine decrescente

- 8 + 5ab - 2a²b²- 7a³b = COMPLETO

Ordinato rispetto alla lettera a, un ordine screscente

7a³b + 5ab - 8 = ORDINATO MA NON COMPLETO

Un polinomio ordinato si dice completo rispetto ad una lettera se quella lettera è presente dall'esponente più alto all'esponente 0 o viceversa.

2ab² + 3abc + 7a²b = OMOGENEO DI GRADO 3

Un polinomio in cui i monomi hanno tutti lo stesso grado si dice omogeneo.


SOMMA DEI POLINOMI

La somma algebrica tra polinomi si effettua sommando tra loro i monomi simili dei polinomi.

( 3a³ + 3a²b + 5b²- ( 5a4 + 3a2b + b2 ) =

= 3a³ + 3a²b + 5b² - 5a4 - 3a2b - b2 =

= 3a³ + 4b - 5a4

La moltiplicazione tra un monomio ed un polinomio, ridotto in forma normale si risolve applicando la proprietà distributiva.

5a³ x ( a² + 2ab )

= 5a5 + 10a4b

La moltiplicazione tra polinomi ridotti in forma normale, si risolve applicando la proprietà distributiva, moltiplicando ogni monomio del primo polinomio per ogni monomio del secondo polinomio e riducendo i termini simili.

DIVISIONE TRA UN POLINOMIO ED UN MONOMIO:

La divisione tra un polinomio ed un monomio si effettua applicando la proprietà distributiva cioè dividendo ciascun monomio del polinomio con il monomio divisore.

Prodotti notevoli

Si dicono prodotti notevoli alcuni prodotti tra polinomi per i quali non è necessario applicare tutti i passaggi della proprietà distributiva, ma si assume come regola risolutiva l'ultimo passaggio di tale applicazione.

1. Trinomio
2. Quadrato del primo
3. Quadrato del secondo

Doppio prodotto del primo per il secondo applicando la regola del segno

ESPRESSIONI CON I PRODOTTI NOTEVOLI 

Per risolvere le espressioni algebriche in cui sono presenti prodotti notevoli si seguono le stesse procedure relative ala proprietà delle parentesi e delle operazioni.

E' obbligatorio risolvere applicando le regole sui prodotti notevoli.

1. QUADRATO DI UN BINOMIO: 

Il quadrato di un binomio è uguale ad un trinomio costituito dal quadrato del primo termine, dal quadrato del secondo termine, dal doppio prodotto del primo termine per il secondo termine applicando la regola del segno.

2. SOMMA PER DIFFERENZA

Il prodotto di un binomio somma per il binomio differenza cioè un binomio per un secondo binomio in cui un monomio resta uguale anche nel segno ed nel secondo monomio cambia soltanto il segno cioè un monomio differenza costituito dal prodotto dei monomi simili applicando la regola del segno.

                                         

                                                    

3. QUADRATO DI UN POLINOMIO

Il quadrato di un polinomio è uguale ad un polinomio costituito dal quadrato di ciascun monomio e dal doppio prodotto di ogni monomio per il successivo.

Applicando la regola del segno.

4. CUBO DI UN BINOMIO

Il cubo di un binomio è uguale ad un quadrinomio costituito dai cubi dei due termini, dal triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo senza quadrato, dal triplo prodotto del primo termine senza quadrato per il secondo al quadrato.

Applicando la regola dei segni.

( x + y )³ = x³ + 3x3y + 3xy3 + y3

Scomposizione di un polinomio

Scomporre un polinomio significa scrivere il polinomio sottoforma di moltiplicazione ( prodotto ) tra polinomi e monomi non più scomponibili.

Per scomporre un polinomio si possono applicare varie tecniche applicate nell'ordine.

1. Raccoglimento totale;
2. Raccoglimento parziale;
3. Utilizzo dei prodotti notevoli;
4. Trinomio di 2°grado del tipo somma - prodotto;
5. Regola dei RUFFINI 

NOTA BENE

Un polinomio non scomponibile si dice irriducibile.

1) Il raccoglimento totale si può applicare se tutti i monomi del monomio presentano almeno un fattore numerico o letterale comune.

In questo caso si scrivono tutti i fattori comuni con l'esponente più piccolo una sola volta e si moltiplica tale monomio comune per il polinomio costituito dai cozzi enti di ciascun monomio per il monomio in evidenza applicando le regole sulle proprietà delle potenze.

• ab + ac + ad = a ( b + c + d )
• 8a4 - 4a3 + 2a2 = 2a2 ( 4a2 - 2a +1 )
• 8a4 - 4a3 +b3 = IRRIDUCIBILE

2) Il raccoglimento parziale si effettua su gruppi di monomi del polinomio, a due a due, a tre a tre etc. cioè il polinomio non può contenere un numero dispari di monomi.
Il raccoglimento parziale si effettua in due passaggi: nel primo passaggio si individuano i monomi comuni ai singoli gruppi, il secondo passaggio è possibile soltanto se all'interno delle presenti sono presenti gli stessi monomi con gli stessi segni.

Il risultato è dato dal prodotto tra il polinomio comune scritto una sola volta e dal polinomio costituito dai monomi raccolti.

3) Per scomporre un polinomio in cui non può essere applicate il raccoglimento totale e il raccoglimento parziale si prova la scomposizione utilizzando i prodotti notevoli, cercando di riconoscere nel risultato il prodotto notevole che lo ha generato.

MATEMATICA

Professoressa Torquato Giuseppa

Ore: 6 alla settimana

Monomi

MONOMI

Si dice monomio un espressione che contiene numeri e lettere legate fra loro dall'operazione di moltiplicazione.

La parte numerica di un monomio ridotto in forma normale si chiama coefficiente numerico, il gruppo delle lettere di un monomio ridotto in forma normale si chiama parte letterale.


NOTA BENE 
Un monomio è ridotto in forma normale quando la parte numerica è costituita da un solo numero e nella parte letterale le lettere compaiono una sola volta.
Nessuna operazione con i monomi può essere svolta se i monomi non sono ridotti in forma normale.


GRADI DI UN MONOMIO

Si dice grado assoluto o complessivo di un monomio il valore numerico che si ottiene sommando tra loro gli esponenti delle lettere.

Si dice grado relativo ad una lettera l'esponente con cui la lettera compare nel monomio, se non compare nessun esponente il grado relativo alla lettera è uno.

Due o più monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale con gli stessi esponenti.

2a2b   -5a2b = SIMILI

3ab2 = NON SIMILI

Due monomi si dicono opposti quando hanno la stessa parte letterale e coefficiente numerico uguale, ma con segno opposto.

+3ab2c  -3ab2c = OPPOSTI

NOTA BENE
La somma di due monomi opposti è sempre uguale a 0.

+3ab2c  -3ab2c = 0

Più monomi si dicono uguali quando hanno la stessa parte letterale e coefficiente numerico con lo stesso valore.

OPERAZIONI CON MONOMI

La potenza di un monomio si ottiene elevando al esponente la parte letterale e la parte numerica, con la parte letterale si utilizza la proprietà di potenza di una potenza, per la parte numerica si moltiplica per se stesso tante volte quanto indica l'esponente il coefficiente numerico compreso il segno.

MOLTIPLICAZIONE tra MONOMI
Il prodotto o moltiplicazione tra monomi si effettua moltiplicando tra loro i fattori numerici e moltiplicando tra loto le lettere applicando la proprietà delle potenze sulla moltiplicazione tra potenze con la stessa base.

La somma algebrica tra monomi si può effettuare soltanto tra monomi simili, ed è uguale ad un monomio simile cioè con la stessa parte letterale e coefficiente numerico uguale alla somma algebrica dei coefficienti numerici.

2x2y - 3x3y + 5x2y = +4x2y = SIMILI

2x2y - 3xy2 + 5xy = NON SIMILI , NON SOMMABILI

2a2b - 3xy3 - 7a2b + 3xy2 - 2xy = NON TUTTI SIMILI

Le percentuali (%)

25%= 25 = 1  
         100    4                        aumento
                                                 ↑
€ 50 → € 35                             3 x 2 = 6   = 6%
                                                50   2   100
aumento €3                              ↓
                                         prezzo iniziale

€ 37 → 30%                        37 x 30 = 37 x 3 = 111 = 11,1€
                                              100            10       10
37 - 11,1 = 25,9 €

Per calcolare la percentuale di aumento di un costo occorre: 

1. Sottrarre dal prezzo finale il prezzo iniziale e quantizzare l'aumento ( di quanto è aumentato ).
2. Scrivere la frazione con numeratore uguale all'aumento e denominatore il costo iniziale.
3. Applicando la proprietà invariantiva delle frazioni moltiplicare, contemporaneamente il numeratore e il denominatore della frazione per il valore, intero o decimale, che rende il denominatore uguale 100.

Trasformare la frazione ottenuta in percentuale.

NOTA BENE

Se il numero da moltiplicare per ottenere il denominatore uguale a 100, non è un numero intero, si può individuare dividendo 100 per il denominatore originale della frazione cioè il prezzo iniziale.

Per calcolare lo sconto su una cifra iniziale o comunque quantizzare la percentuale di un qualunque numero occorre moltiplicare il numero per il valore della percentuale e dividere il risultato per 100.

NOTA BENE

E' possibile effettuare tutte le semplificazioni ammesse per le frazioni.

Numeri decimale e decimali periodici

I numeri decimali semplici e i numeri decimali periodici sono i numeri razionali, appartengono all'insieme Q.
Tutti i numeri decimali possono essere scritti sotto forma di frazioni generatrici.
I numeri decimali semplici sono uguali ad una frazione che ha per numeratore tutto il numero senza la virgola e senza gli eventuali zeri iniziali e per denominatore le potenze di 10 cioè la cifra uno seguita da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola.

2,1= 21                   ,                 0,22= 22
        10                                              100

La frazione generatrice di un numero decimale periodico è uguale ad una frazione che ha al numeratore la sottrazione tra tutto il numero senza la virgola e tutte le cifre prima del periodo. Al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell'eventuale anti periodo.
     
2,1→ periodo
          periodo semplice
                          
1,233333= 1,23→ periodo periodico misto
                     ↓
            anti periodo

2,1= 21-1 = 19
           9        9

APPROSSIMAZIONE DI UN NUMERO DECIMALE

Per approssimare un numero decimale che presenta molte cifre dopo la virgola si usa il metodo dell'arrotondamento.
Se la prima cifra dopo la virgola è uguale o maggiore di 5 le cifre decimali vengono sostituite dal tale cifra aumentata di uno.

2,67543= 2,7 per eccesso

Questa approssimazione si dice per eccesso.Se la prima cifra dopo la virgola è minore di 5 si trasformano tutte le cifre decimali in una cifra minore di 1 della prima cifra decimale.    
 2,47543= 2,3 per difetto

      

Moltiplicazione e divisione tra frazione

Il prodotto fra frazione,ridotto ai minimi termini,è uguale ad una frazione che numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori,dopo aver semplificato in croce la semplificazione (numeratore con denominatore) se possibile.                                  

                                                                        

                                                 5            7
2  . 5  = 10                               10 . 49 =  35
3    7     21                                7     8        4
                                                 1          4
La divisione tra frazioni algebriche si trasforma in moltiplicazione tra la prima frazione per l'inverso della seconda, dopo aver ridotto ai minimi termini.
10 : 7    = 10 . 2 = 20
 7   14       7           7
Potenza di una frazione
La potenza di una frazione si risolve moltiplicando il numeratore e il denominatore (la base) per se stessi tante volte quanto indica l'esponente dopo aver ridotto ai minimi termini.
esempi:

L'insiemistica

                                                                                   B<A

                                                                                      ↓

                                                      CONTENUTO =  B E' SOTTOINSIEME DI

                                                      C= (e,i, a,o,u)

                                                      A=C

                                                         ↓

                                                  COINCIDE

Proprietà delle potenze

Le proprietà delle potenze sono cinque. Due sono relative alla moltiplicazione, due alla divisione e una alla potenza di una potenza.

1.

2.

3.

4.

5.

esempi:

Potenza con esponente negativo

Le potenze con esponente negativo si risolvono risolvendo la potenza che ha per l'inverso reciproco della base e per esponente l'esponente reso positivo.

NOTA BENE: Il segno della base non si cambia.